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[TOC]
9 神经网络: 学习(Neural Networks: Learning)
9.1 代价函数(Cost Function)
神经网络的分类问题有两种：
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二元分类问题(01分类)
只有一个输出单元 ($K=1$)
-
多元分类问题
输出单元不止一个($K\gt2$)
神经网络的代价函数公式：
$h_\Theta(x) = a^{(L)} = g(\Theta^{(L-1)}a^{(L-1)}) = g(z^{(L)})$
$\begin{gather*} J(\Theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^K \left[y^{(i)}k \log ((h\Theta (x^{(i)}))k) + (1 - y^{(i)}k)\log (1 - (h\Theta(x^{(i)}))k)\right] + \frac{\lambda}{2m}\sum{l=1}^{L-1} \sum{i=1}^{s_l} \sum_{j=1}^{s_{l+1}} ( \Theta_{j,i}^{(l)})^2\end{gather*}$
$L$: 神经网络的总层数
$s_l$: 第 $l$ 层激活单元的数量（不包含偏置单元）
$h_\Theta(x)_k$: 分为第 $k$ 个分类($k^{th}$)的概率 $P(y=k | x ; \Theta) $
$K$: 输出层的输出单元数量，即类数 - 1
$y_k^{(i)}$: 第 $i$ 个训练样本的第 $k$ 个分量值
$y$: $K$ 维向量
注：此处符号表达和第四周的内容有异有同，暂时先按照视频来，有必要的话可以做下统一.
公式可长可长了是吧，但是不是有些熟悉？对照下逻辑回归中的代价函数：
$J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m [ y^{(i)}\ \log (h_\theta (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\ \log (1 - h_\theta(x^{(i)}))] + \frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^n \theta_j^2$
在神经网络的代价函数中，
- 左边的变化实际上是为了求解 $K$ 分类问题，即公式会对每个样本特征都运行 $K$ 次，并依次给出分为第 $k$ 类的概率，$h_\Theta(x)\in \mathbb{R}^{K}, y \in \mathbb{R}^{K}$。
- 右边的正则化项比较容易理解，每一层有多维矩阵 $\Theta^{(l)}\in \mathbb{R}^{(s_l + 1)\times s_{l+1}}$，从左到右看这个三次求和式 $\sum\limits_{l=1}^{L-1}\sum\limits_{i=1}^{s_l}\sum\limits_{j=1}^{s_{l+1}}$ ，就是对每一层间的多维矩权重 $\Theta^{(l)}$ ，依次平方后求取其除了偏置权重部分的和值，并循环累加即得结果。
$\mathbb{R}^{m}$: 即 $m$ 维向量
$\mathbb{R}^{m\times n}$: 即 $m \times n$ 维矩阵
再次可见，神经网络背后的思想是和逻辑回归一样的。
9.2 反向传播算法(Backpropagation Algorithm)
类似于回归模型中的梯度下降算法，为了求解神经网络最优化问题，我们也要计算 $\frac{\partial}{\partial\Theta}J(\Theta)$，以此$\underset{\Theta}{\text{minimize}}J(\Theta)$ 。
在神经网络中，代价函数看上去虽然不复杂，但要注意到其中 $h_\Theta(x)$ 的求取实际上是由前向传播算法求得，即需从输入层开始，根据每层间的权重矩阵 $\Theta$ 依次计算激活单元的值 $a$。 在最优化代价函数时，我们必然也需要最优化每一层的权重矩阵，再次强调一下，算法最优化的是权重，而不是输入。
反向传播算法用于计算每一层权重矩阵的偏导 $\frac{\partial}{\partial\Theta}J(\Theta)$，算法实际上是对代价函数求导的拆解。
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首先运行前向传播算法，对于给定训练集 $\lbrace (x^{(1)}, y^{(1)}) \cdots (x^{(m)}, y^{(m)})\rbrace$ 得到初始预测 $a^{(L)}=h_\Theta(x)$
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接下来则应用反向传播算法，从输出层开始计算每一层预测的误差(error)，以此来求取偏导。
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输出层的误差即为预测与训练集结果的之间的差值：$\delta^{(L)} = a^{(L)} - y$，
对于隐藏层中每一层的误差，都通过上一层的误差来计算： $\delta^{(l)} = (\Theta^{(l)})^T\delta^{(l+1)} .*\ g'(z^{(l)}); ; ; ; ; \text{for }l := L-1, L-2,\dots,2.$
解得 $\delta^{(l)} = (\Theta^{(l)})^T\delta^{(l+1)} .\ a^{(l)} . \ (1-a^{(l)})$。
根据以上公式计算依次每一层的误差 $\delta^{(L)}, \delta^{(L-1)},\dots,\delta^{(2)}$。
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初始化 $\Delta$ 矩阵，即令所有的 $\Delta^{(l)}_{i,j}=0$，使得 $\Delta$ 为一个全零矩阵。
然后依次求解 $\Delta^{(l)}{i,j} := \Delta^{(l)}{i,j} + a_j^{(l)} \delta_i^{(l+1)}$，向量化实现即 $\Delta^{(l)} := \Delta^{(l)} + \delta^{(l+1)}(a^{(l)})^T$
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求解完 $\Delta$ 后，最后则可求得偏导 $\frac \partial {\partial \Theta_{i,j}^{(l)}} J(\Theta)=D_{i,j}^{(l)}$
- $D^{(l)}{i,j} := \dfrac{1}{m}\left(\Delta^{(l)}{i,j} + \lambda\Theta^{(l)}_{i,j}\right)$, if $j\neq0$,
- $D^{(l)}{i,j} := \dfrac{1}{m}\Delta^{(l)}{i,j}$, if $j=0$.（对应于偏置单元）
$\delta^{(l)}$: 第 $l$ 层的误差向量
$\delta^{(l)}_i$: 第 $l$ 层的第 $i$ 个激活单元的误差
$\Delta^{(l)}_{i,j}$: 从第 $l$ 层的第 $j$ 个单元映射到第 $l+1$ 层的第 $i$ 个单元的权重代价的偏导（所有样本实例之和）
$D^{(l)}{i,j}$: $\Delta^{(l)}{i,j}$ 的样本均值与正则化项之和
注意：无需计算 $\delta^{(1)}$，因为输入没有误差。
这就是反向传播算法，即从输出层开始不断向前迭代，根据上一层的误差依次计算当前层的误差，以求得代价函数的偏导。
应用反向传播（BP）算法的神经网络被称为 BP 网络，也称前馈网络（向前反馈）。
《机器学习》一书中提到的 BP 网络强大之处：
任何布尔函数都可由两层神经网络准确表达，但所需的中间单元的数量随输入呈指数级增长;
任何连续函数都可由两层神经网络以任意精度逼近;
任何函数都可由三层神经网络以任意程度逼近。
9.3 直观理解反向传播(Backpropagation Intuition)
这节给出了反向传播算法中误差的数学意义：
$cost(t) =y^{(t)} \ \log (h_\Theta (x^{(t)})) + (1 - y^{(t)})\ \log (1 - h_\Theta(x^{(t)}))$
$\delta_j^{(l)} = \dfrac{\partial}{\partial z_j^{(l)}} cost(t)$
视频内容实际在上文都涉及到了，上节也做了解释：
反向传播算法，即从输出层开始不断向前迭代，根据上一层的误差依次计算当前层的误差，以求得代价函数的偏导。
不过，这块还是有些不好理解，可回顾视频。下面以实际例子为基础给出证明。
神经网络中代价函数求导的推导过程：
代价函数无正则化项时：
$\begin{gather*} J(\Theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left[y^{(i)} \log ((h_\Theta (x^{(i)}))) + (1 - y^{(i)})\log (1 - (h_\Theta(x^{(i)})))\right] \end{gather*}$
再次的，为了方便起见，这里假设样本只有一个，则有：
$\begin{gather*} J(\Theta) = -\left[y \log ((h_\Theta (x))) + (1 - y)\log (1 - (h_\Theta(x)))\right] \end{gather*}$
忆及 $a^{(l)}=g(z^{(l)})$，$h_\Theta(x) = a^{(L)}$，$g(z) = \frac{1}{1+e^{(-z)}}$，代入后整理后可得：
$J(\Theta) ={y}\log \left( 1+{{e}^{-z}} \right)+\left( 1-{y} \right)\log \left( 1+{{e}^{z}} \right)$
再次为了便于计算，我们用到如上图这个四层神经网络。
我们有 $h_\Theta(x)=a^{(4)}= g(z^{(4)})=g(\Theta^{(3)}a^{(3)})$
观察考虑各变量与 $\Theta^{(3)}$ 之间的关系，有 $J(\Theta) \rightarrow a^{(4)}\rightarrow z^{(4)}\rightarrow \Theta^{(3)}$
要计算 $J(\Theta)$ 的偏导，就要按照关系不断往前看，每一次回头看，就称为一次反向传播。
把回头看的关系说的“微积分一点”，那就是 $\Theta^{(3)}$ 的微小改变会引起 $z^{(4)}$ 的改变， $z^{(4)}$ 的微小改变会引起 $a^{(4)}$ 的改变，$a^{(4)}$ 的微小改变又会引起 $ J(\Theta)$ 的改变，关系方向也可以反过来写：$\Theta^{(3)} \rightarrow z^{(4)} \rightarrow a^{(4)} \rightarrow J(\Theta) $。
如果你还记得微积分（不然你应该也不会看到这里(*^_^*)~），听起来像不像在暗示链式求导？
令 $\delta^{(l)} = \frac{\partial}{\partial z^{(l)}} J(\Theta)$，则有 $J(\Theta)$ 关于 $\Theta^{(3)}$ 的偏导：
$\frac{\partial}{\partial\Theta^{(3)}} J(\Theta) = \frac{\partial J(\Theta)}{\partial z^{(4)}} \frac{\partial z^{(4)}}{\partial\Theta^{(3)}} = \delta^{(4)}\frac{\partial z^{(4)}}{\partial\Theta^{(3)}}$
忆及 $z^{(l)} = \Theta^{(l-1)}a^{(l-1)}$，则 $\frac{\partial z^{(4)}}{\partial\Theta^{(3)}} = a^{(3)}$
则对于输出层，我们证得 $\frac{\partial}{\partial\Theta^{(3)}} J(\Theta) = a^{(3)}\delta^{(4)}$。
再次忆及 $a^{(l)}=g(z^{(l)}), \ g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$
$\delta^{(4)}=\frac{\partial}{\partial z^{(4)}}J(\Theta)={{y}}\frac{-e^{-z^{(4)}}}{1+e^{-z^{(4)}}}+\left( 1-{{y}} \right)\frac{{e^{z^{(4)}}}}{1+e^{z^{(4)}}} = g(z^{(4)}) - y = a^{(4)}-y$
即证得 $\delta^{(4)} = a^{(4)}-y$
对于任意的输出层单元，有 $J(\Theta) \rightarrow a^{(L)}\rightarrow z^{(L)}\rightarrow \Theta^{(L-1)}$ 关系不变，故证得：
$$
\frac{\partial}{\partial\Theta^{(L-1)}} J(\Theta) = a^{(L-1)}\delta^{(L)}, \ \ \delta^{(L)} = a^{(L)}-y
$$
好了，接下来来看一下 $J(\Theta)$ 关于 $\Theta^{(2)}$ 的偏导
仍然观察考虑各变量与 $\Theta^{(2)}$ 之间的关系，有 $J(\Theta)\rightarrow a^{(4)} \rightarrow z^{(4)} \rightarrow a^{(3)} \rightarrow z^{(3)} \rightarrow\Theta^{(2)}$
$\frac{\partial}{\partial \Theta^{(2)}}J(\Theta) = \frac{\partial J(\Theta)}{\partial z^{(3)}} \frac{\partial z^{(3)}}{\partial \Theta^{(2)}}=\delta^{(3)} \frac{\partial z^{(3)}}{\partial \Theta^{(2)}}= a^{(2)}\delta^{(3)}$
$\delta^{(3)} = \frac{\partial}{\partial z^{(3)}}J(\Theta) =\frac{\partial J(\Theta)}{\partial z^{(4)}} \frac{\partial z^{(4)}}{\partial a^{(3)}}\frac{\partial a^{(3)}}{\partial z^{(3)}} = \delta^{(4)}\frac{\partial z^{(4)}}{\partial a^{(3)}}\frac{\partial a^{(3)}}{\partial z^{(3)}}$
易求得 $\frac{\partial z^{(4)}}{\partial a^{(3)}}=\Theta^{(3)}$
$g'(z) =\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}=\frac{(1+e^{-z})-1}{(1+e^{-z})^2}=\frac{1}{1+e^{-z}}-\frac{1}{(1+e^{-z})^2}=g(z)(1-g(z))$
则 $g'(z^{(l)})=a^{(l)} .* \ (1-a^{(l)})$
则 $\frac{\partial a^{(3)}}{\partial z^{(3)}} = g'(z^{(3)}) =a^{(4)} .* \ (1-a^{(4)})$
即证得 $\delta^{(3)}=(\Theta^{(3)})^T\delta^{(4)}.*g(z^{(3)})$
实际上所有隐藏层都可以上面的方式求解并得到同一结果，故证得：
$$
\frac{\partial}{\partial\Theta^{(l)}} J(\Theta) = a^{(l)}\delta^{(l+1)}, \ \ \delta^{(l)} = (\Theta^{(l)})^T\delta^{(l+1)} .*\ g'(z^{(l)}); ; ; ; ; \text{for }l := L-1, L-2,\dots,2.
$$
再添回为了计算方便去掉的 $\frac{1}{m}$和正则化项（时刻记住偏置单元不正则化），即为上节中 $J(\Theta)$ 的偏导。
证明结束，留个课后作业呀，自己来计算一下 $J(\Theta)$ 关于 $\Theta^{(1)}$ 的偏导，是不是能得到同样的结果？