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单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

notes/week1.md

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     这个定义是非正式但是是最早的，来自于一个会计算机编程的下棋菜鸟，计算机通过不断的对弈，通过对弈计算布局的好坏，通过不断“学习”，积累经验，成为了一个厉害的棋手。
 
-  - Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P, if its performance on T, as measured by P, improves with experience E. 
+  - Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some **task T** and some **performance measure P**, if its performance on T, as measured by P, improves with **experience E**. 
 
     这个定义是第一个正式的机器学习定义，有点拗口，视频介绍了一个例子，即垃圾邮件分类的例子，对于垃圾邮件分类，三个字母分别代表：
 
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 $h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x$，为其中一种可行的表达式。
 
+> $x$: 特征/输入变量。
+
 上式中，$\theta$ 为参数，$\theta$ 的变化决定了输出结果，不同以往，这里的 $x$ 被我们**视作已知**（即不论是数据集还是预测前的输入），所以怎样解得 $\theta$ 以拟合数据，成了求解该问题的最终问题。
 
-单变量即只有一个特征(房屋的面积)
+单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。
 
 ## 2.2 损失函数(Cost Function)
 
 为了求解上个视频中提到的 $\theta$，本视频引入了损失函数(Cost Function)这个概念，损失函数，用于度量预测结果于实际结果的**建模误差**。
 
-目的在于求解预测结果 $h_\theta(x)$  最接近于实际结果 $y$ 时 $\theta$ 的取值，则可以把问题转化为**求解 $\sum\limits_{i=0}^{n}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})$ 的最小值**。
+目的在于求解预测结果 $h_\theta(x)$  最接近于实际结果 $y$ 时 $\theta$ 的取值，则可以把问题转化为**求解 $\sum\limits_{i=0}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})$ 的最小值**。
+
+> m: 训练集中的样本总数
+>
+> y: 目标变量/输出变量
+>
+> $\left(x, y\right)$: 训练集中的实例
+>
+> $\left(x^\left(i\right), y^\left(i\right)\right)$: 训练集中的第 $i$ 个样本实例
 
-![](image\20180105_224648.png)
+![](image/20180105_224648.png)
 
 上图中，为在 $\theta$ 取不同值时的拟合情况，蓝色虚线代表的即为误差，要最小化的就是每个预测点的误差值。
 
 这里则要引入损失函数的概念，我们对求最小值的式子进行数学建模，让其变得易于求最小值，而其中一种办法就是建模为二次函数，即统计学上的平方损失函数（最小二乘法）：
 
-$$ J\left( \theta  \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} $$ ，其中 $m$ 为训练集中的样本数量。
+$$ J\left( \theta  \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} $$ 
+
+> 系数 $\frac{1}{2}$ 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解。
 
 对于之前的房价问题来说，我们的问题就转化成了**求解 $J\left( \theta_0, \theta_1  \right)$ 的最小值**。
 
 
 
-## 2.3 Cost Function - Intuition I
+## 2.3 损失函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)
+
+根据上节视频，列出如下定义：
+
+- 假设函数(Hypothesis): $h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x$
+- 参数(Parameters): $\theta_0, \theta_1$
+- 损失函数(Cost Function): $ J\left( \theta_0, \theta_1  \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} $
+- 目标(Goal): $\underset{\theta_0, \theta_1}{\text{minimize}} J \left(\theta_0, \theta_1 \right)$
+
+为了直观的理解损失函数到底是在做什么，先假设 $\theta_1 = 0$，并假设训练集有三个数据，分别为$\left(1, 1\right), \left(2, 2\right), \left(3, 3\right)$。
+
+<!-->TODO: 可更换为动图<-->
+
+![](image/20180106_085915.png)
+
+上图显示了 $J\left(\theta_0, \theta_1\right)$ 随着 $\theta_1$ 的变化而变化，**当 $\theta_1 = 1$ 时，$J\left(\theta_0, \theta_1 \right) = 0$，取得最小值。**
+
+## 2.4 损失函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)
+
+> 注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解也可跳过。
+
+数据集：
+
+![](image\20180106_091307.png)
+
+下图是在该数据集中，平方损失函数在 $\theta_0 \neq  0$ 时绘制出的3-D图像，空间的高度则为 $J\left(\theta\right)$ 的值。
+
+![](image/20180106_090904.png)
+
+由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为**轮廓图(contour plot)**，下面用轮廓图来作直观理解，即下图中的右图。
+
+![](image/20180106_092119.png)
+
+轮廓图中，相同颜色的一圈代表同一高度（同一 $J\left(\theta\right)$ 值），最中心的部分，即红点的部分，就是这个损失函数的最小值，对应的 $h_\theta\left(x\right)$ 以及对数据的拟合情况就是左图啦，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦
+
+## 2.5 梯度下降(Gradient Descent)
+
+由于数据量、特征量会随着数据集的增长而越来越大，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也无法读出 $J\left(\theta\right)$ 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，所以引入**梯度下降(Gradient Descent)，让计算机自动找出 $\theta$ 值，最小化损失函数。**
+
+梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合$\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}},......,{\theta_{n}} \right)$即起始点，计算损失函数，然后寻找下一个能使得损失函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个**局部最小值(local minimum)**，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是**全局最小值(global minimum)**，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。
+
+下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。
+
+![](image/db48c81304317847870d486ba5bb2015.jpg)
+
+视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围**下一步往哪走**下山比较快，然后就**迈出那一步**，一直重复，直到我们到达某一块山下的**陆地**。
+
+先给出梯度下降的公式：
+$$
+{{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( \theta_0, \theta_1  \right)
+$$
+
+> ${\theta }_{j}$: 第 $j$ 个特征参数
+>
+> ”:=“: 赋值操作符
+>
+> $\alpha$: 学习速率(learning rate), $\alpha > 0$
+>
+> $\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( \theta_0, \theta_1  \right)$: $J\left( \theta_0, \theta_1 \right)$ 的偏导
+
+学习速率决定了参数值变化的速率即”**走多少距离**“，而偏导这部分决定了下降的方向即”**下一步往哪里**“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”**陆地**“。
+
+![](image/20180106_101659.png)
 
-## 2.4 Cost Function - Intuition II
+这里非常重要的一个点是，在计算时**要批量更新 $\theta$ 值**，否则结果上会有所出入，原因不做细究。
 
-## 2.5 Gradient Descent
+## 2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)
 
+该节探讨 $\theta_1$ 的梯度下降更新过程，即 $\theta_1 := \theta_1 - \alpha\frac{d}{d\theta_1}J\left(\theta_1\right)$，注意到这里为了数学定义上的精确性，是 $\frac{d}{d\theta_1}J\left(\theta_1\right)$，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 $\frac{\partial}{\partial\theta}$ 即可。
 
+![](image/20180106_184926.png)
 
-## 2.6 Gradient Descent Intuition
+把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，代表 $J\left(\theta\right)$ 在初始点处有**正斜率**，也就是说它有**正导数**，则 $\theta_1$ 等于 初始值 - 学习速率 * 导数，即 $\theta_1$ 会**向左边移动**。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0，所以如果 $\theta$ 值已经在极小值点处时，梯度下降算法将什么也不做）。
 
-## 2.7 Gradient Descent For Linear Regression
+> 不熟悉斜率的话，可以理解为斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度，精确地求斜率的方法是求导。
+
+对于学习速率 $\alpha$ ，需要选取一个合适的值才可以收敛。
+
+- 学习速率过小：
+
+  ![](image/20180106_190944.png)
+
+  收敛的太慢，需要更多次的迭代。
+
+- 学习速率过大：
+
+  ![](image/20180106_191023.png)
+
+  可能越过最低点，甚至导致无法收敛。
+
+学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，因为由于斜率的变化（越来越接近于0），损失函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。
+
+如图，品红色点为初始点，损失函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。
+
+![](image/20180106_191956.png)
+
+梯度下降不止可以用于线性回归中的损失函数，还通用于最小化其他的损失函数。
+
+## 2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)
+
+将线性回归模型和梯度下降算法结合，则可得出单变量线性问题的解。
+
+- $h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x$
+- $ J\left( \theta_0, \theta_1  \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} $
+- ${{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( \theta_0, \theta_1 \right)$
+
+这里将线性回归模型公式直接带入梯度下降公式即可得出公式：
+
+![](image/20180106_203726.png)
+
+其实上文中提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集 $\left(\sum\limits_{i=1}^{m}\right)$ 更新。
+
+视频中直接给出了 $j = 0, j = 1$ 时求解偏导的计算方法，这里给出推导过程如下：
+
+$\frac{\partial}{\partial\theta_j} J(\theta_1, \theta_2)=\frac{\partial}{\partial\theta_j} \left(\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}} \right)=$
+
+$\left(\frac{1}{2m}*2\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} \right)*\frac{\partial}{\partial\theta_j}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} =$
+
+$\left(\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} \right)*\frac{\partial}{\partial\theta_j}{{\left(\theta_0{x_0^{(i)}} + \theta_1{x_1^{(i)}}-{{y}^{(i)}} \right)}}$
+
+所以当 $j = 0$ 时：
+
+$\frac{\partial}{\partial\theta_0} J(\theta)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} *x_0^{(i)}$
+
+所以当 $j = 1$ 时：
+
+$\frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} *x_1^{(i)}$
+
+使用循环代码较为冗余，后面会讲到如何使用**向量化(Vectorization)**来简化代码并优化计算，使得梯度下降运行的更快。
 
 # 3 Linear Algebra Review
 
+这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。
+
 ## 3.1 Matrices and Vectors
 
 ## 3.2 Addition and Scalar Multiplication