diff --git a/week1.html b/week1.html index 4527a18..f65131c 100644 --- a/week1.html +++ b/week1.html @@ -332,9 +332,9 @@ header, .context-menu, .megamenu-content, footer { font-family: "Segoe UI", Aria -

1. 引言(Introduction)1.1 Welcome1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)1.3 监督学习(Supervised Learning)1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)2.1 模型表示(Model Representation)2.2 代价函数(Cost Function)2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)2.5 梯度下降(Gradient Descent)2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)3 Linear Algebra Review3.1 Matrices and Vectors3.2 Addition and Scalar Multiplication3.3 Matrix Vector Multiplication3.4 Matrix Matrix Multiplication3.5 Matrix Multiplication Properties3.6 Inverse and Transpose

1. 引言(Introduction)

1.1 Welcome

随着互联网数据不断累积，硬件不断升级迭代，在这个信息爆炸的时代，机器学习已被应用在各行各业中，可谓无处不在。

一些常见的机器学习的应用，例如：

使用到机器学习的一些案例：

1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)

  1. 机器学习定义 +

    1. 引言(Introduction)1.1 Welcome1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)1.3 监督学习(Supervised Learning)1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)2.1 模型表示(Model Representation)2.2 代价函数(Cost Function)2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)2.5 梯度下降(Gradient Descent)2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)3 Linear Algebra Review3.1 Matrices and Vectors3.2 Addition and Scalar Multiplication3.3 Matrix Vector Multiplication3.4 Matrix Matrix Multiplication3.5 Matrix Multiplication Properties3.6 Inverse and Transpose

    1. 引言(Introduction)

    1.1 Welcome

    随着互联网数据不断累积，硬件不断升级迭代，在这个信息爆炸的时代，机器学习已被应用在各行各业中，可谓无处不在。

    一些常见的机器学习的应用，例如：

    • 手写识别
    • 垃圾邮件分类
    • 搜索引擎
    • 图像处理
    • …

    使用到机器学习的一些案例：

    • 数据挖掘

      • 网页点击流数据分析

    • 人工无法处理的工作(量大)

      • 手写识别
      • 计算机视觉

    • 个人定制

      • 推荐系统

    • 研究大脑

    • ……

    1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)

    1. 机器学习定义 这里主要有两种定义：

      • Arthur Samuel (1959). Machine Learning: Field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programmed.

        这个定义有点不正式但提出的时间最早，来自于一个懂得计算机编程的下棋菜鸟。他编写了一个程序，但没有显式地编程每一步该怎么走，而是让计算机自己和自己对弈，并不断地计算布局的好坏，来判断什么情况下获胜的概率高，从而积累经验，好似学习，最后，这个计算机程序成为了一个比他自己还厉害的棋手。

      • Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P, if its performance on T, as measured by P, improves with experience E.

        Tom Mitchell 的定义更为现代和正式。在过滤垃圾邮件这个例子中，电子邮件系统会根据用户对电子邮件的标记（是/不是垃圾邮件）不断学习，从而提升过滤垃圾邮件的准确率，定义中的三个字母分别代表：

        • T(Task): 过滤垃圾邮件任务。
        • P(Performance): 电子邮件系统过滤垃圾邮件的准确率。
        • E(Experience): 用户对电子邮件的标记。

    2. 机器学习算法

      主要有两种机器学习的算法分类

      1. 监督学习
      2. 无监督学习

      两者的区别为是否需要人工参与数据结果的标注。这两部分的内容占比很大，并且很重要，掌握好了可以在以后的应用中节省大把大把的时间~

      还有一些算法也属于机器学习领域，诸如：

      • 半监督学习: 介于监督学习于无监督学习之间
      • 推荐算法: 没错，就是那些个买完某商品后还推荐同款的某购物网站所用的算法。
      • 强化学习: 通过观察来学习如何做出动作，每个动作都会对环境有所影响，而环境的反馈又可以引导该学习算法。
      • 迁移学习

    1.3 监督学习(Supervised Learning)

    监督学习，即为教计算机如何去完成预测任务（有反馈），预先给一定数据量的输入和对应的结果即训练集，建模拟合，最后让计算机预测未知数据的结果。

    监督学习一般有两种：

    1. 回归问题(Regression)

      回归问题即为预测一系列的连续值。

      在房屋价格预测的例子中，给出了一系列的房屋面基数据，根据这些数据来预测任意面积的房屋价格。给出照片-年龄数据集，预测给定照片的年龄。

    2. 分类问题(Classification)

      分类问题即为预测一系列的离散值。

      即根据数据预测被预测对象属于哪个分类。

      视频中举了癌症肿瘤这个例子，针对诊断结果，分别分类为良性或恶性。还例如垃圾邮件分类问题，也同样属于监督学习中的分类问题。

    视频中提到支持向量机这个算法，旨在解决当特征量很大的时候(特征即如癌症例子中的肿块大小，颜色，气味等各种特征)，计算机内存一定会不够用的情况。支持向量机能让计算机处理无限多个特征。

    1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)

    相对于监督学习，训练集不会有人为标注的结果（无反馈），我们不会给出结果或无法得知训练集的结果是什么样，而是单纯由计算机通过无监督学习算法自行分析，从而“得出结果”。计算机可能会把特定的数据集归为几个不同的簇，故叫做聚类算法。

    无监督学习一般分为两种：

    1. 聚类(Clustering)

      • 新闻聚合
      • DNA 个体聚类
      • 天文数据分析
      • 市场细分
      • 社交网络分析

    2. 非聚类(Non-clustering)

      • 鸡尾酒问题

    新闻聚合

    在例如谷歌新闻这样的网站中，每天后台都会收集成千上万的新闻，然后将这些新闻分组成一个个的新闻专题，这样一个又一个聚类，就是应用了无监督学习的结果。

    鸡尾酒问题

    在鸡尾酒会上，大家说话声音彼此重叠，几乎很难分辨出面前的人说了什么。我们很难对于这个问题进行数据标注，而这里的通过机器学习的无监督学习算法，就可以将说话者的声音同背景音乐分离出来，看视频，效果还不错呢~~。

    嗯，这块是打打鸡血的，只需要一行代码就解决了问题，就是这么简单！当然，我没复现过 ^_^……

    神奇的一行代码： [W,s,v] = svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');

    编程语言建议

    在机器学习刚开始时，推荐使用 Octave 类的工程计算编程软件，因为在 C++ 或 Java 等编程语言中，编写对应的代码需要用到复杂的库以及要写大量的冗余代码，比较耗费时间，建议可以在学习过后再考虑使用其他语言来构建系统。 -另外，在做原型搭建的时候也应该先考虑使用类似于 Octave 这种便于计算的编程软件，当其已经可以工作后，才将模型移植到其他的高级编程语言中。

    注：Octave 与 MATLAB 语法相近，由于 MATLAB 为商业软件，课程中使用开源且免费的 Octave。

    机器学习领域发展迅速，现在也可使用 Tensorflow 等开源机器学习框架编写机器学习代码，这些框架十分友好，易于编写及应用。

    2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

    2.1 模型表示(Model Representation)

    1. 房价预测训练集

      Size in ()Price ($) in 1000's()
      2104460
      1416232
      1534315
      852178
      ......

    房价预测训练集中，同时给出了输入 和输出结果 ，即给出了人为标注的”正确结果“，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。

    1. 问题解决模型

    其中 代表结果函数，也称为假设(hypothesis) 。假设函数根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个 的映射。

    ，为解决房价问题的一种可行表达式。

    : 特征/输入变量。

    上式中， 为参数， 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的 被我们视作已知(不论是数据集还是预测时的输入)，所以怎样解得 以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。

    单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。

    2.2 代价函数(Cost Function)

    李航《统计学习方法》一书中，损失函数与代价函数两者为同一概念，未作细分区别，全书没有和《深度学习》一书一样混用，而是统一使用损失函数来指代这类类似概念。

    吴恩达(Andrew Ng)老师在其公开课中对两者做了细分。如果要听他的课做作业，不细分这两个概念是会被打小手扣分的！这也可能是因为老师发现了业内混用的乱象，想要治一治吧。

    损失函数(Loss/Error Function): 计算单个训练集的误差

    代价函数(Cost Function): 计算整个训练集所有损失函数之和的平均值

     

    综合考虑，本笔记对两者概念进行细分，若有所谬误，欢迎指正。

    机器学习中的目标函数、损失函数、代价函数有什么区别？- 知乎

     

    我们的目的在于求解预测结果 最接近于实际结果 时 的取值，则问题可表达为求解 的最小值。

    : 训练集中的样本总数

    : 目标变量/输出变量

    : 训练集中的实例

    : 训练集中的第 个样本实例

    上图展示了当 取不同值时， 对数据集的拟合情况，蓝色虚线部分代表建模误差（预测结果与实际结果之间的误差），我们的目标就是最小化所有误差之和。

    为了求解最小值，引入代价函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：

    : 的预测值

    系数 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉 。

    讨论到这里，我们的问题就转化成了求解 的最小值。

    2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)

    根据上节视频，列出如下定义：

    • 假设函数(Hypothesis):
    • 参数(Parameters):
    • 代价函数(Cost Function):
    • 目标(Goal):

    为了直观理解代价函数到底是在做什么，先假设 ，并假设训练集有三个数据，分别为，这样在平面坐标系中绘制出 ，并分析 的变化。

    右图 随着 的变化而变化，可见当 时，，取得最小值，对应于左图青色直线，即函数 拟合程度最好的情况。

    2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)

    注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解可跳过。

    给定数据集：

    参数在 不恒为 时代价函数 关于 的3-D图像，图像中的高度为代价函数的值。

    由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为轮廓图(contour plot)，下面用轮廓图（下图中的右图）来作直观理解，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一 值）。

    时：

    大概在 时：

    上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即代价函数的最小值，此时对应 对数据的拟合情况如左图所示，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦。

    2.5 梯度下降(Gradient Descent)

    在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化代价函数时对应的 值。

    梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合即起始点，计算代价函数，然后寻找下一个能使得代价函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个局部最小值(local minimum)，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是全局最小值(global minimum)，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。

    下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。

    视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围下一步往哪走下山比较快，然后就迈出那一步，一直重复，直到我们到达山下的某一处陆地。

    梯度下降公式：

    : 第 个特征参数

    ”:=“: 赋值操作符

    : 学习速率(learning rate),

    : 的偏导

    公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”走多少距离“，而偏导这部分决定了下降的方向即”下一步往哪里“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”陆地“。

    注意，在计算时要批量更新 值，即如上图中的左图所示，否则结果上会有所出入，原因不做细究。

    2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)

    该节探讨 的梯度下降更新过程，即 ，此处为了数学定义上的精确性，用的是 ，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 即可。

    把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数 在初始点处有正斜率，也就是说它有正导数，则根据梯度下降公式 ， 右边的结果是一个正值，即 会向左边移动。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0）。

    初始 值（初始点）是任意的，若初始点恰好就在极小值点处，梯度下降算法将什么也不做（）。

    不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。

     

    对于学习速率 ，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。

    • 学习速率过小图示：

      收敛的太慢，需要更多次的迭代。

    • 学习速率过大图示：

      可能越过最低点，甚至导致无法收敛。

    学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于0，代价函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。

    如图，品红色点为初始点，代价函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。

    最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的代价函数，还通用于最小化其他的代价函数。

    2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)

    线性回归模型

    梯度下降算法

    直接将线性回归模型公式带入梯度下降公式可得出公式

    当 时，线性回归中代价函数求导的推导过程：

    所以当 时：

    所以当 时：

     

    上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集 更新。

    由于线性回归函数呈现碗状，且只有一个全局的最优值，所以函数一定总会收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数 被称为凸二次函数，而线性回归函数求解最小值问题属于凸函数优化问题。

    另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用向量化(Vectorization)来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。

    3 Linear Algebra Review

    这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。

    3.1 Matrices and Vectors

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.2 Addition and Scalar Multiplication

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.3 Matrix Vector Multiplication

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.4 Matrix Matrix Multiplication

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.5 Matrix Multiplication Properties

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.6 Inverse and Transpose

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:
    +另外，在做原型搭建的时候也应该先考虑使用类似于 Octave 这种便于计算的编程软件，当其已经可以工作后，才将模型移植到其他的高级编程语言中。

    注：Octave 与 MATLAB 语法相近，由于 MATLAB 为商业软件，课程中使用开源且免费的 Octave。

    机器学习领域发展迅速，现在也可使用 Tensorflow 等开源机器学习框架编写机器学习代码，这些框架十分友好，易于编写及应用。

    2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

    2.1 模型表示(Model Representation)

    1. 房价预测训练集

      Size in ()Price ($) in 1000's()
      2104460
      1416232
      1534315
      852178
      ......

    房价预测训练集中，同时给出了输入 和输出结果 ，即给出了人为标注的”正确结果“，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。

    1. 问题解决模型

    其中 代表结果函数，也称为假设(hypothesis) 。假设函数根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个 的映射。

    ，为解决房价问题的一种可行表达式。

    : 特征/输入变量。

    上式中， 为参数， 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的 被我们视作已知(不论是数据集还是预测时的输入)，所以怎样解得 以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。

    单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。

    2.2 代价函数(Cost Function)

    李航《统计学习方法》一书中，损失函数与代价函数两者为同一概念，未作细分区别，全书没有和《深度学习》一书一样混用，而是统一使用损失函数来指代这类类似概念。

    吴恩达(Andrew Ng)老师在其公开课中对两者做了细分。如果要听他的课做作业，不细分这两个概念是会被打小手扣分的！这也可能是因为老师发现了业内混用的乱象，想要治一治吧。

    损失函数(Loss/Error Function): 计算单个训练集的误差

    代价函数(Cost Function): 计算整个训练集所有损失函数之和的平均值

     

    综合考虑，本笔记对两者概念进行细分，若有所谬误，欢迎指正。

    机器学习中的目标函数、损失函数、代价函数有什么区别？- 知乎

     

    我们的目的在于求解预测结果 最接近于实际结果 时 的取值，则问题可表达为求解 的最小值。

    : 训练集中的样本总数

    : 目标变量/输出变量

    : 训练集中的实例

    : 训练集中的第 个样本实例

    上图展示了当 取不同值时， 对数据集的拟合情况，蓝色虚线部分代表建模误差（预测结果与实际结果之间的误差），我们的目标就是最小化所有误差之和。

    为了求解最小值，引入代价函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：

    : 的预测值

    系数 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉 。

    讨论到这里，我们的问题就转化成了求解 的最小值。

    2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)

    根据上节视频，列出如下定义：

    • 假设函数(Hypothesis):
    • 参数(Parameters):
    • 代价函数(Cost Function):
    • 目标(Goal):

    为了直观理解代价函数到底是在做什么，先假设 ，并假设训练集有三个数据，分别为，这样在平面坐标系中绘制出 ，并分析 的变化。

    右图 随着 的变化而变化，可见当 时，，取得最小值，对应于左图青色直线，即函数 拟合程度最好的情况。

    2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)

    注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解可跳过。

    给定数据集：

    参数在 不恒为 时代价函数 关于 的3-D图像，图像中的高度为代价函数的值。

    由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为轮廓图(contour plot)，下面用轮廓图（下图中的右图）来作直观理解，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一 值）。

    时：

    大概在 时：

    上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即代价函数的最小值，此时对应 对数据的拟合情况如左图所示，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦。

    2.5 梯度下降(Gradient Descent)

    在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化代价函数时对应的 值。

    梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合即起始点，计算代价函数，然后寻找下一个能使得代价函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个局部最小值(local minimum)，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是全局最小值(global minimum)，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。

    下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。

    视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围下一步往哪走下山比较快，然后就迈出那一步，一直重复，直到我们到达山下的某一处陆地。

    梯度下降公式：

    : 第 个特征参数

    ”:=“: 赋值操作符

    : 学习速率(learning rate),

    : 的偏导

    公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”走多少距离“，而偏导这部分决定了下降的方向即”下一步往哪里“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”陆地“。

    注意，在计算时要批量更新 值，即如上图中的左图所示，否则结果上会有所出入，原因不做细究。

    2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)

    该节探讨 的梯度下降更新过程，即 ，此处为了数学定义上的精确性，用的是 ，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 即可。

    把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数 在初始点处有正斜率，也就是说它有正导数，则根据梯度下降公式 ， 右边的结果是一个正值，即 会向左边移动。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0）。

    初始 值（初始点）是任意的，若初始点恰好就在极小值点处，梯度下降算法将什么也不做（）。

    不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。

     

    对于学习速率 ，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。

    • 学习速率过小图示：

      收敛的太慢，需要更多次的迭代。

    • 学习速率过大图示：

      可能越过最低点，甚至导致无法收敛。

    学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于0，代价函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。

    如图，品红色点为初始点，代价函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。

    最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的代价函数，还通用于最小化其他的代价函数。

    2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)

    线性回归模型

    梯度下降算法

    直接将线性回归模型公式带入梯度下降公式可得出公式

    当 时，线性回归中代价函数求导的推导过程：

    所以当 时：

    所以当 时：

     

    上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集 更新。

    由于线性回归函数呈现碗状，且只有一个全局的最优值，所以函数一定总会收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数 被称为凸二次函数，而线性回归函数求解最小值问题属于凸函数优化问题。

    另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用向量化(Vectorization)来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。

    3 Linear Algebra Review

    这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。

    3.1 Matrices and Vectors

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.2 Addition and Scalar Multiplication

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.3 Matrix Vector Multiplication

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.4 Matrix Matrix Multiplication

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.5 Matrix Multiplication Properties

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:

    3.6 Inverse and Transpose

    Octave/Matlab 代码:

    执行结果:
\ No newline at end of file diff --git a/week1.md b/week1.md index a37d85b..3656e09 100644 --- a/week1.md +++ b/week1.md @@ -313,23 +313,21 @@ $\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} \; \lbrace \newline \; &{{\th 直接将线性回归模型公式带入梯度下降公式可得出公式 -![](image/20180106_203726.png) +![](image/20180106_203726.png)当 $j = 0, j = 1$ 时，**线性回归中代价函数求导的推导过程：** -> 当 $j = 0, j = 1$ 时，**线性回归中代价函数求导的推导过程：** -> -> $\frac{\partial}{\partial\theta_j} J(\theta_1, \theta_2)=\frac{\partial}{\partial\theta_j} \left(\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}} \right)=$ -> -> $\left(\frac{1}{2m}*2\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} \right)*\frac{\partial}{\partial\theta_j}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} =$ -> -> $\left(\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} \right)*\frac{\partial}{\partial\theta_j}{{\left(\theta_0{x_0^{(i)}} + \theta_1{x_1^{(i)}}-{{y}^{(i)}} \right)}}$ -> -> 所以当 $j = 0$ 时： -> -> $\frac{\partial}{\partial\theta_0} J(\theta)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} *x_0^{(i)}$ -> -> 所以当 $j = 1$ 时： -> -> $\frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} *x_1^{(i)}$ +$\frac{\partial}{\partial\theta_j} J(\theta_1, \theta_2)=\frac{\partial}{\partial\theta_j} \left(\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}} \right)=$ + +$\left(\frac{1}{2m}*2\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} \right)*\frac{\partial}{\partial\theta_j}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} =$ + +$\left(\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} \right)*\frac{\partial}{\partial\theta_j}{{\left(\theta_0{x_0^{(i)}} + \theta_1{x_1^{(i)}}-{{y}^{(i)}} \right)}}$ + +所以当 $j = 0$ 时： + +$\frac{\partial}{\partial\theta_0} J(\theta)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} *x_0^{(i)}$ + +所以当 $j = 1$ 时： + +$\frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}} *x_1^{(i)}$ diff --git a/week2.html b/week2.html index 3109a1e..503d5bc 100644 --- a/week2.html +++ b/week2.html @@ -220,7 +220,7 @@ header, .context-menu, .megamenu-content, footer { font-family: "Segoe UI", Aria -

4 多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)4.1 多特征(Multiple Features)4.2 多变量梯度下降(Gradient Descent for Multiple Variables)4.3 梯度下降实践1-特征值缩放(Gradient Descent in Practice I - Feature Scaling)4.4 梯度下降实践2-学习速率(Gradient Descent in Practice II - Learning Rate)4.5 特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)4.6 正规方程(Normal Equation)4.7 不可逆性正规方程(Normal Equation Noninvertibility)5 Octave/Matlab Tutorial5.1 Basic Operations5.2 Moving Data Around5.3 Computing on Data5.4 Plotting Data5.5 Control Statements: for, while, if statement5.6 向量化(Vectorization)5.x 常用函数整理

4 多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)

4.1 多特征(Multiple Features)

对于一个要度量的对象，一般来说会有不同维度的多个特征。比如之前的房屋价格预测例子中，除了房屋的面积大小，可能还有房屋的年限、房屋的层数等等其他特征：

这里由于特征不再只有一个，引入一些新的记号

: 特征的总数

: 代表样本矩阵中第 行，也就是第 个训练实例。

: 代表样本矩阵中第 行的第 列，也就是第 个训练实例的第 个特征。

参照上图，则有

多变量假设函数 表示为：

对于 ，和单特征中一样，我们将其看作基础数值。例如，房价的基础价格。

参数向量的维度为 ，在特征向量中添加 后，其维度也变为 ， 则运用线性代数，可简化 ：

: 矩阵的转置

: 某个样本的特征向量， 维特征量向量

: 为了计算方便我们会假设

注：该部分记号较多，记不住可随时回顾！

 

4.2 多变量梯度下降(Gradient Descent for Multiple Variables)

多变量代价函数类似于单变量代价函数，

即 ，其中 。

前文提到梯度下降对于最小化代价函数的通用性，则多变量梯度下降公式即

解出偏导得：

可展开为：

当然，同单变量梯度下降一样，计算时需要同时更新所有参数。

，则得到同时更新参数的向量化(Vectorization)实现：

: 训练集数据， 维矩阵（包含额外特征 ）

4.3 梯度下降实践1-特征值缩放(Gradient Descent in Practice I - Feature Scaling)

在应用梯度下降算法实践时，由于各特征值的范围不一，可能会影响代价函数收敛速度。

以房价预测问题为例，这里选取房屋面积大小和房间数量这两个特征。

下图中，左图是以原始数据绘制的代价函数轮廓图，右图为采用特征缩放（都除以最大值）后图像。左图中呈现的图像较扁，相对于使用特征缩放方法的右图，梯度下降算法需要更多次的迭代。

 

为了优化梯度下降的收敛速度，采用特征缩放的技巧，使各特征值的范围尽量一致。

除了以上图人工选择并除以一个参数的方式，均值归一化(Mean normalization)方法更为便捷，可采用它来对所有特征值统一缩放：

使得

对于特征的范围，并不一定需要使得 ，类似于 等也是可取的，而诸如 ，，就显得过大/过小了。

另外注意，一旦采用特征缩放，我们就需对所有的输入采用特征缩放，包括训练集、测试集、预测输入等。

4.4 梯度下降实践2-学习速率(Gradient Descent in Practice II - Learning Rate)

通常，有两种方法来确定函数是否收敛

对于梯度下降，一般采用多次迭代收敛法来得出最小化代价函数的参数值，自动化测试收敛法（如设定 时判定收敛）则几乎不会被使用。

我们可以通过绘制代价函数关于迭代次数的图像，可视化梯度下降的执行过程，借助直观的图形来发现代价函数趋向于多少时能趋于收敛，依据图像变化情况，确定诸如学习速率的取值，迭代次数的大小等问题。

对于学习速率 ，一般上图展现的为适中情况，下图中，左图可能表明 过大，代价函数无法收敛，右图可能表明 过小，代价函数收敛的太慢。当然， 足够小时，代价函数在每轮迭代后一定会减少。

通过不断改变 值，绘制并观察图像，并以此来确定合适的学习速率。 尝试时可取 如

4.5 特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)

在特征选取时，我们也可以自己归纳总结，定义一个新的特征，用来取代或拆分旧的一个或多个特征。比如，对于房屋面积特征来说，我们可以将其拆分为长度和宽度两个特征，反之，我们也可以合并长度和宽度这两个特征为面积这一个特征。

线性回归只能以直线来对数据进行拟合，有时候需要使用曲线来对数据进行拟合，即多项式回归(Polynomial Regression)。

比如一个二次方模型：

或者三次方模型：

或者平方根模型：

在使用多项式回归时，要记住非常有必要进行特征缩放，比如 的范围为 1-1000，那么 的范围则为 1- 1000000，不适用特征缩放的话，范围更有不一致，也更易影响效率。

4.6 正规方程(Normal Equation)

对于一些线性回归问题来说，正规方程法给出了一个更好的解决问题的方式。

正规方程法，即令 ，通过解析函数的方式直接计算得出参数向量的值 ，Octave/Matlab 代码： theta = inv(X'*X)*X'*y。

: 矩阵 的逆，在 Octave 中，inv 函数用于计算矩阵的逆，类似的还有 pinv 函数。

X': 在 Octave 中表示矩阵 X 的转置，即

下表列出了正规方程法与梯度下降算法的对比

条件梯度下降正规方程
是否需要选取 需要不需要
是否需要迭代运算需要不需要
特征量大1时适用，不适用， 复杂度
适用范围2各类模型只适用线性模型，且矩阵需可逆

正规方程法的推导过程：

展开上式可得

注意到 与 都为标量，实际上是等价的，则

接下来对 求偏导，根据矩阵的求导法则:

所以有:

令, 则有

4.7 不可逆性正规方程(Normal Equation Noninvertibility)

（本部分内容为选讲）

正规方程无法应用于不可逆的矩阵，发生这种问题的概率很小，通常由于

如果发现 的结果不可逆，可尝试：

对于这类不可逆的矩阵，我们称之为奇异矩阵或退化矩阵。

这种情况下，如果还想使用正规方程法，在Octave中，可以选用 pinv 函数，pinv 区别于 inv，pinv 函数被称为伪逆函数，在矩阵不可逆的时候，使用这个函数仍可正确地计算出 的值。

5 Octave/Matlab Tutorial

复习时可直接倍速回顾视频，笔记整理暂留。

5.1 Basic Operations

5.2 Moving Data Around

5.3 Computing on Data

5.4 Plotting Data

5.5 Control Statements: for, while, if statement

5.6 向量化(Vectorization)

5.x 常用函数整理

+

4 多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)4.1 多特征(Multiple Features)4.2 多变量梯度下降(Gradient Descent for Multiple Variables)4.3 梯度下降实践1-特征值缩放(Gradient Descent in Practice I - Feature Scaling)4.4 梯度下降实践2-学习速率(Gradient Descent in Practice II - Learning Rate)4.5 特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)4.6 正规方程(Normal Equation)4.7 不可逆性正规方程(Normal Equation Noninvertibility)5 Octave/Matlab Tutorial5.1 Basic Operations5.2 Moving Data Around5.3 Computing on Data5.4 Plotting Data5.5 Control Statements: for, while, if statement5.6 向量化(Vectorization)5.x 常用函数整理

4 多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)

4.1 多特征(Multiple Features)

对于一个要度量的对象，一般来说会有不同维度的多个特征。比如之前的房屋价格预测例子中，除了房屋的面积大小，可能还有房屋的年限、房屋的层数等等其他特征：

这里由于特征不再只有一个，引入一些新的记号

: 特征的总数

: 代表样本矩阵中第 行，也就是第 个训练实例。

: 代表样本矩阵中第 行的第 列，也就是第 个训练实例的第 个特征。

参照上图，则有

多变量假设函数 表示为：

对于 ，和单特征中一样，我们将其看作基础数值。例如，房价的基础价格。

参数向量的维度为 ，在特征向量中添加 后，其维度也变为 ， 则运用线性代数，可简化 ：

: 矩阵的转置

: 某个样本的特征向量， 维特征量向量

: 为了计算方便我们会假设

注：该部分记号较多，记不住可随时回顾！

 

4.2 多变量梯度下降(Gradient Descent for Multiple Variables)

多变量代价函数类似于单变量代价函数，

即 ，其中 。

前文提到梯度下降对于最小化代价函数的通用性，则多变量梯度下降公式即

解出偏导得：

可展开为：

当然，同单变量梯度下降一样，计算时需要同时更新所有参数。

，则得到同时更新参数的向量化(Vectorization)实现：

: 训练集数据， 维矩阵（包含额外特征 ）

4.3 梯度下降实践1-特征值缩放(Gradient Descent in Practice I - Feature Scaling)

在应用梯度下降算法实践时，由于各特征值的范围不一，可能会影响代价函数收敛速度。

以房价预测问题为例，这里选取房屋面积大小和房间数量这两个特征。

下图中，左图是以原始数据绘制的代价函数轮廓图，右图为采用特征缩放（都除以最大值）后图像。左图中呈现的图像较扁，相对于使用特征缩放方法的右图，梯度下降算法需要更多次的迭代。

 

为了优化梯度下降的收敛速度，采用特征缩放的技巧，使各特征值的范围尽量一致。

除了以上图人工选择并除以一个参数的方式，均值归一化(Mean normalization)方法更为便捷，可采用它来对所有特征值统一缩放：

使得

对于特征的范围，并不一定需要使得 ，类似于 等也是可取的，而诸如 ，，就显得过大/过小了。

另外注意，一旦采用特征缩放，我们就需对所有的输入采用特征缩放，包括训练集、测试集、预测输入等。

4.4 梯度下降实践2-学习速率(Gradient Descent in Practice II - Learning Rate)

通常，有两种方法来确定函数是否收敛

  • 多次迭代收敛法

    • 无法确定需要多少次迭代
    • 较易绘制关于迭代次数的图像
    • 根据图像易预测所需的迭代次数

  • 自动化测试收敛法（比较阈值）

    • 不易选取阈值
    • 代价函数近乎直线时无法确定收敛情况

对于梯度下降，一般采用多次迭代收敛法来得出最小化代价函数的参数值，自动化测试收敛法（如设定 时判定收敛）则几乎不会被使用。

我们可以通过绘制代价函数关于迭代次数的图像，可视化梯度下降的执行过程，借助直观的图形来发现代价函数趋向于多少时能趋于收敛，依据图像变化情况，确定诸如学习速率的取值，迭代次数的大小等问题。

对于学习速率 ，一般上图展现的为适中情况，下图中，左图可能表明 过大，代价函数无法收敛，右图可能表明 过小，代价函数收敛的太慢。当然， 足够小时，代价函数在每轮迭代后一定会减少。

通过不断改变 值，绘制并观察图像，并以此来确定合适的学习速率。 尝试时可取 如

4.5 特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)

在特征选取时，我们也可以自己归纳总结，定义一个新的特征，用来取代或拆分旧的一个或多个特征。比如，对于房屋面积特征来说，我们可以将其拆分为长度和宽度两个特征，反之，我们也可以合并长度和宽度这两个特征为面积这一个特征。

线性回归只能以直线来对数据进行拟合，有时候需要使用曲线来对数据进行拟合，即多项式回归(Polynomial Regression)。

比如一个二次方模型：

或者三次方模型：

或者平方根模型：

在使用多项式回归时，要记住非常有必要进行特征缩放，比如 的范围为 1-1000，那么 的范围则为 1- 1000000，不适用特征缩放的话，范围更有不一致，也更易影响效率。

4.6 正规方程(Normal Equation)

对于一些线性回归问题来说，正规方程法给出了一个更好的解决问题的方式。

正规方程法，即令 ，通过解析函数的方式直接计算得出参数向量的值 ，Octave/Matlab 代码： theta = inv(X'*X)*X'*y。

: 矩阵 的逆，在 Octave 中，inv 函数用于计算矩阵的逆，类似的还有 pinv 函数。

X': 在 Octave 中表示矩阵 X 的转置，即

下表列出了正规方程法与梯度下降算法的对比

条件梯度下降正规方程
是否需要选取 需要不需要
是否需要迭代运算需要不需要
特征量大1时适用，不适用， 复杂度
适用范围2各类模型只适用线性模型，且矩阵需可逆

正规方程法的推导过程：

展开上式可得

注意到 与 都为标量，实际上是等价的，则

接下来对 求偏导，根据矩阵的求导法则:

所以有:

令, 则有

 

4.7 不可逆性正规方程(Normal Equation Noninvertibility)

（本部分内容为选讲）

正规方程无法应用于不可逆的矩阵，发生这种问题的概率很小，通常由于

  • 特征之间线性相关

    比如同时包含英寸的尺寸和米为单位的尺寸两个特征，它们是线性相关的

    即 。

  • 特征数量大于训练集的数量。

如果发现 的结果不可逆，可尝试：

  • 减少多余/重复特征
  • 增加训练集数量
  • 使用正则化（后文）

对于这类不可逆的矩阵，我们称之为奇异矩阵或退化矩阵。

这种情况下，如果还想使用正规方程法，在Octave中，可以选用 pinv 函数，pinv 区别于 inv，pinv 函数被称为伪逆函数，在矩阵不可逆的时候，使用这个函数仍可正确地计算出 的值。

5 Octave/Matlab Tutorial

复习时可直接倍速回顾视频，笔记整理暂留。

5.1 Basic Operations

5.2 Moving Data Around

5.3 Computing on Data

5.4 Plotting Data

5.5 Control Statements: for, while, if statement

5.6 向量化(Vectorization)

5.x 常用函数整理

1 一般来说，当 超过 10000 时，对于正规方程而言，特征量较大。↩
2 梯度下降算法的普适性好，而对于特定的线性回归模型，正规方程是很好的替代品。↩
diff --git a/week2.md b/week2.md index 9befee6..19df81c 100644 --- a/week2.md +++ b/week2.md @@ -147,33 +147,33 @@ $$ [^1]: 一般来说，当 $n$ 超过 10000 时，对于正规方程而言，特征量较大。 [^2]: 梯度下降算法的普适性好，而对于特定的线性回归模型，正规方程是很好的替代品。 -> **正规方程法的推导过程**： -> -> $\begin{aligned} & J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {h_{\theta}}\left( {x^{(i)}} \right)-{y^{(i)}} \right)}^{2}}}\newline \; & =\frac{1}{2m}||X\theta-y||^2 \newline \; & =\frac{1}{2m}(X\theta-y)^T(X\theta-y) &\newline \end{aligned}$ -> -> 展开上式可得 -> -> $J(\theta )= \frac{1}{2m}\left( {{\theta }^{T}}{{X}^{T}}X\theta -{{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y-{{y}^{T}}X\theta + {{y}^{T}}y \right)$ -> -> 注意到 ${{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y$ 与 ${{y}^{T}}X\theta$ 都为标量，实际上是等价的，则 -> -> $J(\theta) = \frac{1}{2m}[X^TX\theta-2\theta^TX^Ty+y^Ty]$ -> -> 接下来对$J(\theta )$ 求偏导，根据矩阵的求导法则: -> -> $\frac{dX^TAX}{dX}=(A+A^\mathrm{T})X$ -> -> $\frac{dX^TA}{dX}={A}$ -> -> 所以有: -> -> $\frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=\frac{1}{2m}\left(2{{X}^{T}}X\theta -2{{X}^{T}}y \right)={{X}^{T}}X\theta -{{X}^{T}}y$ -> -> 令$\frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=0$, 则有 -> $$ -> \theta ={{\left( {X^{T}}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y -> $$ -> +**正规方程法的推导过程**： + +$\begin{aligned} & J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {h_{\theta}}\left( {x^{(i)}} \right)-{y^{(i)}} \right)}^{2}}}\newline \; & =\frac{1}{2m}||X\theta-y||^2 \newline \; & =\frac{1}{2m}(X\theta-y)^T(X\theta-y) &\newline \end{aligned}$ + +展开上式可得 + +$J(\theta )= \frac{1}{2m}\left( {{\theta }^{T}}{{X}^{T}}X\theta -{{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y-{{y}^{T}}X\theta + {{y}^{T}}y \right)$ + +注意到 ${{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y$ 与 ${{y}^{T}}X\theta$ 都为标量，实际上是等价的，则 + +$J(\theta) = \frac{1}{2m}[X^TX\theta-2\theta^TX^Ty+y^Ty]$ + +接下来对$J(\theta )$ 求偏导，根据矩阵的求导法则: + +$\frac{dX^TAX}{dX}=(A+A^\mathrm{T})X$ + +$\frac{dX^TA}{dX}={A}$ + +所以有: + +$\frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=\frac{1}{2m}\left(2{{X}^{T}}X\theta -2{{X}^{T}}y \right)={{X}^{T}}X\theta -{{X}^{T}}y$ + +令$\frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=0$, 则有 +$$ +\theta ={{\left( {X^{T}}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y +$$ + ## 4.7 不可逆性正规方程(Normal Equation Noninvertibility) diff --git a/week3.html b/week3.html index d38d55d..6a6701a 100644 --- a/week3.html +++ b/week3.html @@ -332,8 +332,8 @@ header, .context-menu, .megamenu-content, footer { font-family: "Segoe UI", Aria -

6 逻辑回归(Logistic Regression)6.1 分类(Classification)6.2 假设函数表示(Hypothesis Representation)6.3 决策边界(Decision Boundary)6.4 代价函数(Cost Function)6.5 简化的成本函数和梯度下降(Simplified Cost Function and Gradient Descent)6.6 进阶优化(Advanced Optimization)6.7 多类别分类: 一对多(Multiclass Classification: One-vs-all)7 正则化(Regularization)7.1 过拟合问题(The Problem of Overfitting)7.2 代价函数(Cost Function)7.3 线性回归正则化(Regularized Linear Regression)7.4 逻辑回归正则化(Regularized Logistic Regression)

6 逻辑回归(Logistic Regression)

6.1 分类(Classification)

在分类问题中，预测的结果是离散值（结果是否属于某一类），逻辑回归算法(Logistic Regression)被用于解决这类分类问题。

  • 垃圾邮件判断
  • 金融欺诈判断
  • 肿瘤诊断

讨论肿瘤诊断问题：

肿瘤诊断问题的目的是告诉病人是否为恶性肿瘤，是一个二元分类问题(binary class problems)，则定义 ，其中 0 表示负向类(negative class)，代表恶性肿瘤("-")，1 为正向类(positive class)，代表良性肿瘤("+")。如图，定义最右边的样本为偏差项。

在未加入偏差项时，线性回归算法给出了品红色的拟合直线，若规定

，预测为 ，即正向类；

，预测为 ，即负向类。

即以 0.5 为阈值(threshold)，则我们就可以根据线性回归结果，得到相对正确的分类结果 。

 

接下来加入偏差项，线性回归算法给出了靛青色的拟合直线，如果阈值仍然为 0.5，可以看到算法在某些情况下会给出完全错误的结果，对于癌症、肿瘤诊断这类要求预测极其精确的问题，这种情况是无法容忍的。

不仅如此，线性回归算法的值域为全体实数集（），则当线性回归函数给出诸如 等很大/很小(负数)的数值时，结果 ，这显得非常怪异。

 

区别于线性回归算法，逻辑回归算法是一个分类算法，其输出值永远在 0 到 1 之间，即 。

6.2 假设函数表示(Hypothesis Representation)

为了使 ，引入逻辑回归模型，定义假设函数

对比线性回归函数 ， 表示逻辑函数(logistic function)，复合起来，则称为逻辑回归函数。

逻辑函数是 S 形函数，会将所有实数映射到 范围。

sigmoid 函数（如下图）是逻辑函数的特殊情况，其公式为 。

sigmoid function

应用 sigmoid 函数，则逻辑回归模型：

逻辑回归模型中， 的作用是，根据输入 以及参数 ，计算得出”输出 “的可能性(estimated probability)，概率学中表示为：

 

以肿瘤诊断为例， 表示病人有 的概率得了恶性肿瘤。

6.3 决策边界(Decision Boundary)

决策边界的概念，可帮助我们更好地理解逻辑回归模型的拟合原理。

在逻辑回归中，有假设函数 。

为了得出分类的结果，这里和前面一样，规定以 为阈值：

回忆一下 sigmoid 函数的图像：

sigmoid function

观察可得当 时，有 ，即 。

同线性回归模型的不同点在于：

直观一点来个例子， 是下图模型的假设函数：

根据上面的讨论，要进行分类，那么只要 时，就预测 ，即预测为正向类。

如果取 ，则有 ，当 即 时，易绘制图中的品红色直线即决策边界，为正向类（以红叉标注的数据）给出 的分类预测结果。

 

上面讨论了逻辑回归模型中线性拟合的例子，下面则是一个多项式拟合的例子，和线性回归中的情况也是类似的。

为了拟合下图数据，建模多项式假设函数：

这里取 ，决策边界对应了一个在原点处的单位圆（），如此便可给出分类结果，如图中品红色曲线：

 

当然，通过一些更为复杂的多项式，还能拟合那些图像显得非常怪异的数据，使得决策边界形似碗状、爱心状等等。

 

简单来说，决策边界就是分类的分界线，分类现在实际就由 (中的 )决定啦。

6.4 代价函数(Cost Function)

那我们怎么知道决策边界是啥样？ 多少时能很好的拟合数据？当然，见招拆招，总要来个 。

如果直接套用线性回归的代价函数：

其中 ，可绘制关于 的图像，如下图

回忆线性回归中的平方损失函数，其是一个二次凸函数（碗状），二次凸函数的重要性质是只有一个局部最小点即全局最小点。上图中有许多局部最小点，这样将使得梯度下降算法无法确定收敛点是全局最优。

如果此处的损失函数也是一个凸函数，是否也有同样的性质，从而最优化？这类讨论凸函数最优值的问题，被称为凸优化问题(Convex optimization)。

当然，损失函数不止平方损失函数一种。

对于逻辑回归，更换平方损失函数为对数损失函数，可由统计学中的最大似然估计方法推出代价函数 ：

则有关于 的图像如下：

如左图，当训练集的结果为 （正样本）时，随着假设函数趋向于 ，代价函数的值会趋于 ，即意味着拟合程度很好。如果假设函数此时趋于 ，则会给出一个很高的代价，拟合程度差，算法会根据其迅速纠正 值，右图 同理。

区别于平方损失函数，对数损失函数也是一个凸函数，但没有局部最优值。

6.5 简化的成本函数和梯度下降(Simplified Cost Function and Gradient Descent)

由于懒得分类讨论，对于二元分类问题，我们可把代价函数简化为一个函数： -

当 ，左边式子整体为 ，当 ，则 ，右边式子整体为0，也就和上面的分段函数一样了，而一个式子计算起来更方便。

向量化实现：

，

 

为了最优化 ，仍使用梯度下降法，算法同线性回归中一致：

解出偏导得：

注意，虽然形式上梯度下降算法同线性回归一样，但其中的假设函不同，即，不过求导后的结果也相同。

向量化实现：

 

逻辑回归中代价函数求导的推导过程：

令

将 带入得

+

6 逻辑回归(Logistic Regression)6.1 分类(Classification)6.2 假设函数表示(Hypothesis Representation)6.3 决策边界(Decision Boundary)6.4 代价函数(Cost Function)6.5 简化的成本函数和梯度下降(Simplified Cost Function and Gradient Descent)6.6 进阶优化(Advanced Optimization)6.7 多类别分类: 一对多(Multiclass Classification: One-vs-all)7 正则化(Regularization)7.1 过拟合问题(The Problem of Overfitting)7.2 代价函数(Cost Function)7.3 线性回归正则化(Regularized Linear Regression)7.4 逻辑回归正则化(Regularized Logistic Regression)

6 逻辑回归(Logistic Regression)

6.1 分类(Classification)

在分类问题中，预测的结果是离散值（结果是否属于某一类），逻辑回归算法(Logistic Regression)被用于解决这类分类问题。

  • 垃圾邮件判断
  • 金融欺诈判断
  • 肿瘤诊断

讨论肿瘤诊断问题：

肿瘤诊断问题的目的是告诉病人是否为恶性肿瘤，是一个二元分类问题(binary class problems)，则定义 ，其中 0 表示负向类(negative class)，代表恶性肿瘤("-")，1 为正向类(positive class)，代表良性肿瘤("+")。如图，定义最右边的样本为偏差项。

在未加入偏差项时，线性回归算法给出了品红色的拟合直线，若规定

，预测为 ，即正向类；

，预测为 ，即负向类。

即以 0.5 为阈值(threshold)，则我们就可以根据线性回归结果，得到相对正确的分类结果 。

 

接下来加入偏差项，线性回归算法给出了靛青色的拟合直线，如果阈值仍然为 0.5，可以看到算法在某些情况下会给出完全错误的结果，对于癌症、肿瘤诊断这类要求预测极其精确的问题，这种情况是无法容忍的。

不仅如此，线性回归算法的值域为全体实数集（），则当线性回归函数给出诸如 等很大/很小(负数)的数值时，结果 ，这显得非常怪异。

 

区别于线性回归算法，逻辑回归算法是一个分类算法，其输出值永远在 0 到 1 之间，即 。

6.2 假设函数表示(Hypothesis Representation)

为了使 ，引入逻辑回归模型，定义假设函数

对比线性回归函数 ， 表示逻辑函数(logistic function)，复合起来，则称为逻辑回归函数。

逻辑函数是 S 形函数，会将所有实数映射到 范围。

sigmoid 函数（如下图）是逻辑函数的特殊情况，其公式为 。

sigmoid function

应用 sigmoid 函数，则逻辑回归模型：

逻辑回归模型中， 的作用是，根据输入 以及参数 ，计算得出”输出 “的可能性(estimated probability)，概率学中表示为：

 

以肿瘤诊断为例， 表示病人有 的概率得了恶性肿瘤。

6.3 决策边界(Decision Boundary)

决策边界的概念，可帮助我们更好地理解逻辑回归模型的拟合原理。

在逻辑回归中，有假设函数 。

为了得出分类的结果，这里和前面一样，规定以 为阈值：

回忆一下 sigmoid 函数的图像：

sigmoid function

观察可得当 时，有 ，即 。

同线性回归模型的不同点在于：

直观一点来个例子， 是下图模型的假设函数：

根据上面的讨论，要进行分类，那么只要 时，就预测 ，即预测为正向类。

如果取 ，则有 ，当 即 时，易绘制图中的品红色直线即决策边界，为正向类（以红叉标注的数据）给出 的分类预测结果。

 

上面讨论了逻辑回归模型中线性拟合的例子，下面则是一个多项式拟合的例子，和线性回归中的情况也是类似的。

为了拟合下图数据，建模多项式假设函数：

这里取 ，决策边界对应了一个在原点处的单位圆（），如此便可给出分类结果，如图中品红色曲线：

 

当然，通过一些更为复杂的多项式，还能拟合那些图像显得非常怪异的数据，使得决策边界形似碗状、爱心状等等。

 

简单来说，决策边界就是分类的分界线，分类现在实际就由 (中的 )决定啦。

6.4 代价函数(Cost Function)

那我们怎么知道决策边界是啥样？ 多少时能很好的拟合数据？当然，见招拆招，总要来个 。

如果直接套用线性回归的代价函数：

其中 ，可绘制关于 的图像，如下图

回忆线性回归中的平方损失函数，其是一个二次凸函数（碗状），二次凸函数的重要性质是只有一个局部最小点即全局最小点。上图中有许多局部最小点，这样将使得梯度下降算法无法确定收敛点是全局最优。

如果此处的损失函数也是一个凸函数，是否也有同样的性质，从而最优化？这类讨论凸函数最优值的问题，被称为凸优化问题(Convex optimization)。

当然，损失函数不止平方损失函数一种。

对于逻辑回归，更换平方损失函数为对数损失函数，可由统计学中的最大似然估计方法推出代价函数 ：

则有关于 的图像如下：

如左图，当训练集的结果为 （正样本）时，随着假设函数趋向于 ，代价函数的值会趋于 ，即意味着拟合程度很好。如果假设函数此时趋于 ，则会给出一个很高的代价，拟合程度差，算法会根据其迅速纠正 值，右图 同理。

区别于平方损失函数，对数损失函数也是一个凸函数，但没有局部最优值。

6.5 简化的成本函数和梯度下降(Simplified Cost Function and Gradient Descent)

由于懒得分类讨论，对于二元分类问题，我们可把代价函数简化为一个函数： +

当 ，左边式子整体为 ，当 ，则 ，右边式子整体为0，也就和上面的分段函数一样了，而一个式子计算起来更方便。

向量化实现：

，

 

为了最优化 ，仍使用梯度下降法，算法同线性回归中一致：

解出偏导得：

注意，虽然形式上梯度下降算法同线性回归一样，但其中的假设函不同，即，不过求导后的结果也相同。

向量化实现：

 

逻辑回归中代价函数求导的推导过程：

令

将 带入得

根据求偏导的性质，没有 的项求偏导即为 ，都消去，则得：

所以有：

@@ -341,7 +341,7 @@ header, .context-menu, .megamenu-content, footer { font-family: "Segoe UI", Aria -

则可得代价函数的导数：

6.6 进阶优化(Advanced Optimization)

运行梯度下降算法，其能最小化代价函数 并得出 的最优值，在使用梯度下降算法时，如果不需要观察代价函数的收敛情况，则直接计算 的导数项即可，而不需要计算 值。

我们编写代码给出代价函数及其偏导数然后传入梯度下降算法中，接下来算法则会为我们最小化代价函数给出参数的最优解。这类算法被称为最优化算法(Optimization Algorithms)，梯度下降算法不是唯一的最小化算法1。

一些最优化算法：

  • 梯度下降法(Gradient Descent)

  • 共轭梯度算法(Conjugate gradient)

  • 牛顿法和拟牛顿法(Newton's method & Quasi-Newton Methods)

    • DFP算法
    • 局部优化法(BFGS)
    • 有限内存局部优化法(L-BFGS)

  • 拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)

比较梯度下降算法：一些最优化算法虽然会更为复杂，难以调试，自行实现又困难重重，开源库又效率也不一，哎，做个调包侠还得碰运气。不过这些算法通常效率更高，并无需选择学习速率 （少一个参数少一份痛苦啊！）。

Octave/Matlab 中对这类高级算法做了封装，易于调用。

 

假设有 ，要求参数 的最优值。

下面为 Octave/Matlab 求解最优化问题的代码实例：

  1. 创建一个函数以返回代价函数及其偏导数：
  1. 将 costFunction 函数及所需参数传入最优化函数 fminunc，以求解最优化问题：

'GradObj', 'on': 启用梯度目标参数（则需要将梯度传入算法）

'MaxIter', 100: 最大迭代次数为 100 次

@xxx: Octave/Matlab 中的函数指针

optTheta: 最优化得到的参数向量

functionVal: 引用函数最后一次的返回值

exitFlag: 标记代价函数是否收敛

注：Octave/Matlab 中可以使用 help fminunc 命令随时查看函数的帮助文档。

  1. 返回结果

6.7 多类别分类: 一对多(Multiclass Classification: One-vs-all)

一直在讨论二元分类问题，这里谈谈多类别分类问题（比如天气预报）。

原理是，转化多类别分类问题为多个二元分类问题，这种方法被称为 One-vs-all。

正式定义：

: 输出 （属于第 个分类）的可能性

: 类别总数，如上图 。

注意多类别分类问题中 的结果不再只是一个实数而是一个向量，如果类别总数为 ，现在 就是一个 维向量。

对于某个样本实例，需计算所有的 种分类情况得到 ，然后看分为哪个类别时预测输出的值最大，就说它输出属于哪个类别，即 。

7 正则化(Regularization)

7.1 过拟合问题(The Problem of Overfitting)

对于拟合的表现，可以分为三类情况：

  • 欠拟合(Underfitting)

    无法很好的拟合训练集中的数据，预测值和实际值的误差很大，这类情况被称为欠拟合。拟合模型比较简单（特征选少了）时易出现这类情况。类似于，你上课不好好听，啥都不会，下课也差不多啥都不会。

  • 优良的拟合(Just right)

    不论是训练集数据还是不在训练集中的预测数据，都能给出较为正确的结果。类似于，学霸学神！

  • 过拟合(Overfitting)

    能很好甚至完美拟合训练集中的数据，即 ，但是对于不在训练集中的新数据，预测值和实际值的误差会很大，泛化能力弱，这类情况被称为过拟合。拟合模型过于复杂（特征选多了）时易出现这类情况。类似于，你上课跟着老师做题都会都听懂了，下课遇到新题就懵了不会拓展。

线性模型中的拟合情况(左图欠拟合，右图过拟合)： +

则可得代价函数的导数：

6.6 进阶优化(Advanced Optimization)

运行梯度下降算法，其能最小化代价函数 并得出 的最优值，在使用梯度下降算法时，如果不需要观察代价函数的收敛情况，则直接计算 的导数项即可，而不需要计算 值。

我们编写代码给出代价函数及其偏导数然后传入梯度下降算法中，接下来算法则会为我们最小化代价函数给出参数的最优解。这类算法被称为最优化算法(Optimization Algorithms)，梯度下降算法不是唯一的最小化算法1。

一些最优化算法：

  • 梯度下降法(Gradient Descent)

  • 共轭梯度算法(Conjugate gradient)

  • 牛顿法和拟牛顿法(Newton's method & Quasi-Newton Methods)

    • DFP算法
    • 局部优化法(BFGS)
    • 有限内存局部优化法(L-BFGS)

  • 拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)

比较梯度下降算法：一些最优化算法虽然会更为复杂，难以调试，自行实现又困难重重，开源库又效率也不一，哎，做个调包侠还得碰运气。不过这些算法通常效率更高，并无需选择学习速率 （少一个参数少一份痛苦啊！）。

Octave/Matlab 中对这类高级算法做了封装，易于调用。

 

假设有 ，要求参数 的最优值。

下面为 Octave/Matlab 求解最优化问题的代码实例：

  1. 创建一个函数以返回代价函数及其偏导数：
  1. 将 costFunction 函数及所需参数传入最优化函数 fminunc，以求解最优化问题：

'GradObj', 'on': 启用梯度目标参数（则需要将梯度传入算法）

'MaxIter', 100: 最大迭代次数为 100 次

@xxx: Octave/Matlab 中的函数指针

optTheta: 最优化得到的参数向量

functionVal: 引用函数最后一次的返回值

exitFlag: 标记代价函数是否收敛

注：Octave/Matlab 中可以使用 help fminunc 命令随时查看函数的帮助文档。

  1. 返回结果

6.7 多类别分类: 一对多(Multiclass Classification: One-vs-all)

一直在讨论二元分类问题，这里谈谈多类别分类问题（比如天气预报）。

原理是，转化多类别分类问题为多个二元分类问题，这种方法被称为 One-vs-all。

正式定义：

: 输出 （属于第 个分类）的可能性

: 类别总数，如上图 。

注意多类别分类问题中 的结果不再只是一个实数而是一个向量，如果类别总数为 ，现在 就是一个 维向量。

对于某个样本实例，需计算所有的 种分类情况得到 ，然后看分为哪个类别时预测输出的值最大，就说它输出属于哪个类别，即 。

7 正则化(Regularization)

7.1 过拟合问题(The Problem of Overfitting)

对于拟合的表现，可以分为三类情况：

  • 欠拟合(Underfitting)

    无法很好的拟合训练集中的数据，预测值和实际值的误差很大，这类情况被称为欠拟合。拟合模型比较简单（特征选少了）时易出现这类情况。类似于，你上课不好好听，啥都不会，下课也差不多啥都不会。

  • 优良的拟合(Just right)

    不论是训练集数据还是不在训练集中的预测数据，都能给出较为正确的结果。类似于，学霸学神！

  • 过拟合(Overfitting)

    能很好甚至完美拟合训练集中的数据，即 ，但是对于不在训练集中的新数据，预测值和实际值的误差会很大，泛化能力弱，这类情况被称为过拟合。拟合模型过于复杂（特征选多了）时易出现这类情况。类似于，你上课跟着老师做题都会都听懂了，下课遇到新题就懵了不会拓展。

线性模型中的拟合情况(左图欠拟合，右图过拟合)：

逻辑分类模型中的拟合情况：

 

为了度量拟合表现，引入：

  • 偏差(bias)

    指模型的预测值与真实值的偏离程度。偏差越大，预测值偏离真实值越厉害。偏差低意味着能较好地反应训练集中的数据情况。

  • 方差(Variance)

    指模型预测值的离散程度或者变化范围。方差越大，数据的分布越分散，函数波动越大，泛化能力越差。方差低意味着拟合曲线的稳定性高，波动小。

据此，我们有对同一数据的各类拟合情况如下图：

据上图，高偏差意味着欠拟合，高方差意味着过拟合。

我们应尽量使得拟合模型处于低方差（较好地拟合数据）状态且同时处于低偏差（较好地预测新值）的状态。

避免过拟合的方法有：

  • 减少特征的数量

    • 手动选取需保留的特征
    • 使用模型选择算法来选取合适的特征(如 PCA 算法)
    • 减少特征的方式易丢失有用的特征信息

  • 正则化(Regularization)

    • 可保留所有参数（许多有用的特征都能轻微影响结果）
    • 减少/惩罚各参数大小(magnitude)，以减轻各参数对模型的影响程度
    • 当有很多参数对于模型只有轻微影响时，正则化方法的表现很好

7.2 代价函数(Cost Function)

很多时候由于特征数量过多，过拟合时我们很难选出要保留的特征，这时候应用正则化方法则是很好的选择。

上文中， 这样一个复杂的多项式较易过拟合，在不减少特征的情况下，如果能消除类似于 、 等复杂部分，那复杂函数就变得简单了。

为了保留各个参数的信息，不修改假设函数，改而修改代价函数：

上式中，我们在代价函数中增加了 、 的惩罚项(penalty term) ，如果要最小化代价函数，那么势必需要极大地减小 、，从而使得假设函数中的 、 这两项的参数非常小，就相当于没有了，假设函数也就“变得”简单了，从而在保留各参数的情况下避免了过拟合问题。

 

根据上面的讨论，有时也无法决定要减少哪个参数，故统一惩罚除了 外的所有参数。

代价函数：

: 正则化参数(Regularization Parameter)，

: 不惩罚基础参数

: 正则化项

正则化参数类似于学习速率，也需要我们自行对其选择一个合适的值。

  • 过大

    • 导致模型欠拟合(假设可能会变成近乎 的直线 )
    • 无法正常去过拟问题
    • 梯度下降可能无法收敛

  • 过小

    • 无法避免过拟合（等于没有）

正则化符合奥卡姆剃刀(Occam's razor)原理。在所有可能选择的模型中，能够很好地解释已知数据并且十分简单才是最好的模型，也就是应该选择的模型。从贝叶斯估计的角度来看，正则化项对应于模型的先验概率。可以假设复杂的模型有较大的先验概率，简单的模型有较小的先验概率。

正则化是结构风险最小化策略的实现，是去过拟合问题的典型方法，虽然看起来多了个一参数多了一重麻烦，后文会介绍自动选取正则化参数的方法。模型越复杂，正则化参数值就越大。比如，正则化项可以是模型参数向量的范数。

7.3 线性回归正则化(Regularized Linear Regression)

应用正则化的线性回归梯度下降算法：

也可以移项得到更新表达式的另一种表示形式

: 正则化项

 

应用正则化的正规方程法2：

: 正则化项

: 第一行第一列为 的 维单位矩阵

Matlab/Octave 代码：

 

前文提到正则化可以解决正规方程法中不可逆的问题，即增加了 正则化项后，可以保证 可逆(invertible)，即便 不可逆(non-invertible)。

7.4 逻辑回归正则化(Regularized Logistic Regression)

为逻辑回归的代价函数添加正则化项：

前文已经证明过逻辑回归和线性回归的代价函数的求导结果是一样的，此处通过给正则化项添加常数 ，则其求导结果也就一样了。

从而有应用正则化的逻辑回归梯度下降算法：

 

diff --git a/week3.md b/week3.md index b279e44..27b368f 100644 --- a/week3.md +++ b/week3.md @@ -167,39 +167,39 @@ $\begin{align*}& \text{repeat until convergence:} \; \lbrace \newline \; & \thet -> **逻辑回归中代价函数求导的推导过程：** -> -> $J(\theta) = - \frac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m [y^{(i)}\log (h_\theta (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log (1 - h_\theta(x^{(i)}))]$ -> -> 令 $f(\theta) = {{y}^{(i)}}\log \left( {h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right) \right)+\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1-{h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right) \right)$ -> -> 将 $h_\theta(x^{(i)}) = g\left(\theta^{T}x^{(i)} \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}} $ 带入得 -> -> $f(\theta)={{y}^{(i)}}\log \left( \frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}} \right)+\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1-\frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}} \right)$ -> $=-{{y}^{(i)}}\log \left( 1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}} \right)-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}} \right)$ -> -> 根据求偏导的性质，没有 $\theta_j$ 的项求偏导即为 $0$，都消去，则得： -> -> $\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}\left( \theta^Tx^{(i)} \right)=x^{(i)}_j$ -> -> 所以有： -> -> $\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}f\left( \theta \right)=\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}[-{{y}^{(i)}}\log \left( 1+{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}} \right)-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1+{{e}^{{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}} \right)]$ -> -> $=-{{y}^{(i)}}\frac{\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}\left( \theta^Tx^{(i)} \right)\cdot{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\frac{\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}\left( \theta^Tx^{(i)} \right)\cdot{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}$ -> -> $=-{{y}^{(i)}}\frac{-x_{j}^{(i)}{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\frac{x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}$ -> $={{y}^{(i)}}\frac{x_j^{(i)}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\frac{x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}$ -> $={\frac{{{y}^{(i)}}x_j^{(i)}-x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}+{{y}^{(i)}}x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}}$ -> $={\frac{{{y}^{(i)}}\left( 1\text{+}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}} \right)-{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}x_j^{(i)}}$ -> $={({{y}^{(i)}}-\frac{{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}})x_j^{(i)}}$ -> $={({{y}^{(i)}}-\frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}})x_j^{(i)}}$ -> $={\left({{y}^{(i)}}-{h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right)\right)x_j^{(i)}}$ -> $={\left({h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}}\right)x_j^{(i)}}$ -> -> 则可得代价函数的导数： -> -> $\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}f(\theta)}=\frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_j^{(i)} $ +**逻辑回归中代价函数求导的推导过程：** + +$J(\theta) = - \frac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m [y^{(i)}\log (h_\theta (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log (1 - h_\theta(x^{(i)}))]$ + +令 $f(\theta) = {{y}^{(i)}}\log \left( {h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right) \right)+\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1-{h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right) \right)$ + +将 $h_\theta(x^{(i)}) = g\left(\theta^{T}x^{(i)} \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}} $ 带入得 + +$f(\theta)={{y}^{(i)}}\log \left( \frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}} \right)+\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1-\frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}} \right)$ +$=-{{y}^{(i)}}\log \left( 1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}} \right)-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}} \right)$ + +根据求偏导的性质，没有 $\theta_j$ 的项求偏导即为 $0$，都消去，则得： + +$\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}\left( \theta^Tx^{(i)} \right)=x^{(i)}_j$ + +所以有： + +$\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}f\left( \theta \right)=\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}[-{{y}^{(i)}}\log \left( 1+{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}} \right)-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\log \left( 1+{{e}^{{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}} \right)]$ + +$=-{{y}^{(i)}}\frac{\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}\left( \theta^Tx^{(i)} \right)\cdot{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\frac{\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}\left( \theta^Tx^{(i)} \right)\cdot{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}$ + +$=-{{y}^{(i)}}\frac{-x_{j}^{(i)}{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{-{\theta^{T}}{{x}^{(i)}}}}}-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\frac{x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}$ +$={{y}^{(i)}}\frac{x_j^{(i)}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}-\left( 1-{{y}^{(i)}} \right)\frac{x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}$ +$={\frac{{{y}^{(i)}}x_j^{(i)}-x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}+{{y}^{(i)}}x_j^{(i)}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}}$ +$={\frac{{{y}^{(i)}}\left( 1\text{+}{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}} \right)-{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}x_j^{(i)}}$ +$={({{y}^{(i)}}-\frac{{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}}{1+{{e}^{{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}})x_j^{(i)}}$ +$={({{y}^{(i)}}-\frac{1}{1+{{e}^{-{\theta^T}{{x}^{(i)}}}}})x_j^{(i)}}$ +$={\left({{y}^{(i)}}-{h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right)\right)x_j^{(i)}}$ +$={\left({h_\theta}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}}\right)x_j^{(i)}}$ + +则可得代价函数的导数： + +$\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}f(\theta)}=\frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_j^{(i)} $ ## 6.6 进阶优化(Advanced Optimization)